2020 高等代数（下）(苏州大学) 最新满分章节测试答案

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本课程起止时间为:2020-02-25到2020-07-03
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第六章 线性空间 第六章线性空间单元测验

1、 问题:设, ，， 其中,,, ,.则和的维数为（ ）.
选项：
A:4和1
B:4和2
C:3和1
D:3和2
答案: 【4和1】

2、 问题:所有与可交换的矩阵形成了~的一个子空间W, 下列说法正确的是（ ）
选项：
A:W的维数是3.
B:W的基为，
C:W的维数是2.
D:W的维数是1.
E:W的基为
F:W的基为.
G:W的基为.
答案: 【W的维数是3.;
W的基为，】

3、 问题:建立平面直角坐标系后，实平面看成点（对应到坐标向量）的集合关于通常的向量的加法与数乘构成线性空间，下列说法正确的是（ ）.
选项：
A:该平面上的任意一点都可以看成该平面的一个子空间.
B:该平面上的任意一条直线都可以看成该平面的一个子空间.
C:该平面上的子空间都是一些直线.
D:该平面上过原点的直线才是这个平面的子空间.
答案: 【该平面上过原点的直线才是这个平面的子空间.】

4、 问题:设, ，， 其中，则下列说法正确的是（ ）.
选项：
A:的维数为2.
B:的基为.
C:的基为.
D:的维数为1.
E:的维数为3.
F:的基为.
G:的基为.
答案: 【的维数为2.;
的基为.】

5、 问题:设是数域上的线性空间V的三个真子空间，则下列说法正确的是（ ）.
选项：
A: V与 是不相等的两个集合.
B:
C:
D:设, 则
答案: 【 V与 是不相等的两个集合.】

6、 问题:实数域上的4维向量空间中，向量在基下的坐标为（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【】

7、 问题:下列论断错误的是（ ）
选项：
A:可以将复数域看成实数域上的二维线性空间, 是这个线性空间的一组基.
B:线性空间的两个子空间的并不一定是线性空间，但是它们的交一定是线性空间.
C:在有理数域上是线性相关的.
D:关于数的加法及有理数与该集合数的乘法构成了有理数域上的2维线性空间.
答案: 【在有理数域上是线性相关的.】

8、 问题:设V是实数域上的n维向量空间.A 是实数域上的一个n阶方阵. 令, 则下列说法正确的是（ ）
选项：
A:
B:
C:维（) +维（)=n
D:维（)+维（)>维（）
答案: 【】

9、 问题:3维实向量空间中，从基 到基的过渡矩阵为（ ）.
选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【】

10、 问题:下列论断正确的是（ ）.
选项：
A:任一个4维线性空间不一定能表示成一个一维子空间与一个3维子空间的直和.
B:数域F上的线性空间V的零向量就是数域F中的零.
C:线性空间的两组基之间的过渡矩阵不一定是可逆矩阵.
D:关于通常的数的加法与有理数与实数的乘法，将实数域可以看成有理数域上的线性空间.
答案: 【关于通常的数的加法与有理数与实数的乘法，将实数域可以看成有理数域上的线性空间.】

11、 问题:实平面上全体向量, 对于通常的向量的加法和如下定义的数量乘法: 可以构成实数域上的线性空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
分析：【提示：比如，加法对乘法的分配律不满足】

12、 问题:设是线性空间V中的一个线性相关的向量组，且 线性无关， 也线性无关, 则.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
分析：【易知{ \alpha，\beta}可由{\beta，\gamma } 线性表出，{\beta，\gamma }可由 { \alpha，\beta}线性表出.】

13、 问题: 是 线性空间的一个基.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
分析：【这个空间的维数为3， x+1,x-1,x^2-1在实数域上是线性无关的，即为一组基.】

14、 问题:设是数域F上的n 维向量空间的一个非平凡子空间, 则必存在矩阵, 使得是元齐次线性方程组的解空间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
分析：【显然~$V_1={\alpha\in \mathbb{F}^n | \alpha_{t}^{T}\alpha=0, t=1,\cdots,m}$~也是~$\mathbb{F}^n$~ 的一个子空间. 由线性方程组理论，$dim(V_1)=n-m$. 设~$V_1$~有一组基为~$\beta_1,\cdots, \beta_{n-m}$, 取~$A=(\beta_1,\cdots, \beta_{n-m})^{T}$~即满足题目要求.】

15、 问题:设是三维实向量空间V的三个向量，则存在一个非零子空间W，使得这里,符号“ ” 表示线性空间之间的直和.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
分析：【求出已知三个向量生成子空间的维数是2，所以可以找到该子空间的基，这组基通过添加向量扩充成整个三维空间V的基，添加的一个向量生成的空间就是所需要的非零子空间W.】

16、 问题:线性空间具有环结构，既有加法，又有乘法.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
分析：【根据环.的定义和线性空间的定义即得该论断不正确.】

17、 问题:设V是实数域上全体n阶方阵关于矩阵的加法与矩阵的数乘构成一个线性空间. W是V中全体对称矩阵构成的子空间，U是V中全体反对称矩阵构成的子空间. 则.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
分析：【首先我们可以将任何一个n阶矩阵写成对称阵与反对称阵的和，然后两个子空间的维数之和正好是V的维数。】

18、 问题:零空间也有一组基，基由零向量组成.
选项：
A:正确