2019 概率论与数理统计(南京农业大学) 最新满分章节测试答案

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本课程起止时间为:2019-02-25到2019-02-25

【作业】第一周第一次作业

1、问题:口袋中有编号分别为1、2、3的三个球，试写出下列随机试验的样本空间。（1）从口袋中任取2颗球，观察取到的球的编号；（2）先从口袋中取一颗球，观察其编号后放回口袋中，再从口袋中取一颗球并观察编号；（3）先从口袋中取一颗球，观察其编号后，从剩余的球中再取一颗并观察编号。
评分规则: 【（1）注：正确得6分，错误得0分。
（2）注1：正确得6分，错误得0分；注2：也可以采用显示枚举罗列出样本空间中的所有9个元素。
（3）注1：正确得8分，错误得0分；注2：也可以采用显示枚举法罗列出样本空间中的所有6个元素。
】

2、问题:抛三次硬币，表示第次为正面，，试用表示下列事件：（1）三次都是正面；（2）三次都是反面；（3）至少有一次是正面；（4）至少有一次是反面；（5）至少有两次是正面。
评分规则: 【解：（1）；注：答对得3分，错误得0分。
（2）；注1：也可以是；注2：答对得3分，答错得0分。
（3）；注：答对得4分，答错得0分。
（4）；注1：也可以是；注2：答对得4分，答错得0分。
（5）；注：答对得6分，答错得0分。
】

3、问题:设A，B是两个事件，并且.（1）在什么条件下，取到最大值，最大值是多少？（10分）（2）事件A与B有可能互斥么？为什么？（10分）
评分规则: 【解：（1），所以.
(1)又因为，所以当时，有，此时达到最大。
最大值为.
（2）不可能互斥。
采用反证法。如果互斥，则有
这与事件发生的概率不超过1矛盾。
】

4、问题:利用概率的基本性质计算下列各题。（1）设,,求;（8分）（2）已知事件A与B中只有一个发生的概率为0.3，且,求A，B至少有一个发生的概率。（12分）
评分规则: 【解：（1）因为，所以注：或者利用得到,从而得到
所以
从而.
（2）解：
而,所以.
于是A与B至少有一个不发生的概率为：注：写出前两个等号可得3分
】

5、问题:已知，求三个事件中，至少有一个发生的概率。
评分规则: 【
又因为，所以，所以.注：若根据得出,进而得出以及，这种做法只得4分
所以.
】

【作业】第二周第二次作业

1、问题:甲乙两只口袋各有5颗球，其中甲袋中有3颗红球2颗白球，乙袋中有2颗红球3颗白球。现在从两个口袋中各取一球。问：（1）取到的两颗球颜色相同的概率是多少？（2）取到的两颗球中至少有一颗是红球的概率又是多少？
评分规则: 【解：（1）step1：（4分）分别用A，B表示从甲袋，乙袋中取到的是红球。则取到的两颗球同色的概率为：step2：（4分） step3：（2分）所以两球同色的概率为0.48END注：按步骤分别可得0分、4分、6分、8分、10分
（2）至少一颗是红球的概率为：（4分）其中（4分），所以（2分）.注：按步骤分别可得0分、4分、8分、10分
】

2、问题:10件同型号产品中有2件是次品，从中取2次，每次取1件，做不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两次取到的都是正品；（2）两次都是次品；（3）一件是正品一件是次品；（4）第二次取到的是次品。
评分规则: 【解：用表示第次取到的是正品。（1）两次取到的都是正品的概率：注：答对得4分，答错得0分
（2）两次都是次品的概率：注：答对得4分，答错得0分
（3）（4分）因此一件正品一件次品的概率为（2分）注：按步骤分别可得：0分、2分、4分、6分。
（4）第二次是次品的概率为：（2分），其中（2分）因此（2分）。注：按步骤分别可得0分、2分、4分、6分
】

3、问题:假设你家订了一份牛奶，送奶员每天在6:30到7:30之间把牛奶送到你家，而你每天7:00到8:00之间离开家去上班。求你在离开家之前能够喝到当天牛奶的概率。
评分规则: 【解：用表示牛奶送到的时间，表示离开家的时间，那么该随机试验的样本空间就是一切可能的组合，即边长为1的正方形区域（6分）。同时，事件“离开家之前能够喝到当天牛奶”等价于（6分）。于是，（8分）。注1：按步骤分别可得0分、6分、12分、20分；注2：也可以将样本空间以及事件“离家之前能够喝到牛奶”画在同一个坐标系下，利用几何概型计算方法得出概率。
】

4、问题:已知,求.
评分规则: 【解：step1：（4分）step2：（4分）（4分）step3：（4分）而step4：（4分）综上END注：按步骤分别可得0分、4分、8分、12分、16分、20分。
】

5、问题:据以往资料表明，某三口之家患某种传染病的概率有如下规律：孩子患病的概率为0.6；如果孩子患病，那么母亲患病的概率为0.5；如果母亲及孩子都患病，那么父亲也患病的概率为0.4。求母亲及孩子都患病但父亲未患病的概率。
评分规则: 【解：分别用表示孩子患病、母亲患病、父亲患病。（2分）则已知条件等价于：。（6分）所求概率为：（2分）根据乘法公式：（6分）即：（4分）。注1：按步骤分别可得0分、2分、8分、10分、16分、20分；注2：用来表示“孩子患病”，“母亲患病”，“父亲患病”这三个事件的字母可以有多种选择。
】

【作业】第三周第三次作业

1、问题:甲乙两个口袋，甲袋中装有只白球只红球，乙袋中装有只白球只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球。求从乙袋中取到的时白球的概率。
评分规则: 【解：用A表示从甲袋中取到的是白球，B表示从乙袋中取到的是白球。（2分）（4分）（4分）（10分）注1：按步骤分别可得0分、2分、6分、10分、15分、20分；注2：可以选择其他字母表示两次取球结果；注3：最后结果无需化简，若化简正确也得满分。
】

2、问题:玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设每箱玻璃杯中含有0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客从中随机抽取4只检查，若无残次品则买下该箱，否则退回。（1）求顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）求在顾客买下的这箱玻璃杯中确无残次品的概率。
评分规则: 【 step1：用表示顾客购买了该箱玻璃杯，表示该箱玻璃杯中恰有件次品；（2分）step2：根据全概率公式有：（4分）step3：根据题意及古典概型计算方法，可得：（4分）step4：将上述结果与已知数据带入step1中可得：（2分）END注1：可以采用其他字母描述相关事件；注2：按步骤分别可得0分、2分、6分、10分、12分；注3：最后的结果用分数表示也可以。
step1：根据贝叶斯公式：（6分）step2：代入相关数据计算可得：（2分）END注1：最后的结果没有用近似小数表示也可以；注2：按步骤分别可得0分、6分、8分。
】

3、问题:据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌。如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%。如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？
评分规则: 【解：用表示患有结肠癌，表示隐血检查结果为有隐血。（2分）step1：所求概率为条件概率：（4分）step2：根据贝叶斯公式可得：（6分）step3:根据已知条件，有：（6分）step4:将上述数据代入到step3中，并注意，计算可得：（2分）END注1：最终结果也可以用精确分数表示；注2：按步骤分别可得0分、2分、6分、12分、18分、20分
】

4、问题:甲乙丙三人独立地破译一份密码，已知各人能够破译的概率分别为0.2，0.3，0.2.求该密码被破译的概率。
评分规则: 【解：分别用表示甲、乙、丙破译了该密码（2分）；则该密码被破译的概率就是（2分）；注意到（6分）；根据题设：相互独立，从而有：（6分）代入相关数据计算可得密码被破译的概率为：（4分）END注1：可以选择其他字母表示相关事件；注2：按步骤分别可得0分、2分、4分、10分、16分、20分。
】

5、问题:甲乙两人进行乒乓球比赛，已知甲每局能够获胜的概率都为，并且假设各局胜负结果相互独立。（1）采用三局两胜制求甲最终获胜的概率；（2）如果将赛制改为五局三胜，结果又如何？
评分规则: 【解：用表示第局甲获胜；（2分）甲最终获胜有2种情形：case 1：打2局并且甲胜，其概率为：（2分）case 2: 打满3局甲最终获胜（注意此时第三局一定是甲胜出），其概率为：（4分）于是在三局两胜制下，甲最终获胜的概率为：（2分）END注1：可用其它字母表示相关事件；注2：按步骤分别可得0分、2分、4分、8分、10分
用字母表示第局甲胜出；case 1:打3局，甲胜。概率为：（2分）case 2:打4局，甲胜。概率为：（3分）case 3：打5局，甲胜。概率为：（3分）（其中第一个乘积项表示前4局中甲胜2局的概率，第二个乘积因子表示第五局甲胜）从而在五局三胜制下，甲最终获胜的概率为：（2分）END注1：按步骤分别可得0分、2分、5分、8分、10分；注2：最终结果不合并同类项也可以。
】

【作业】第四周第四次作业

1、问题:袋中有五个乒乓球，标号分别是1、2、3、4、5，从中任取3个，X表示取出的3个球中最大的号码，写出X的分布律与分布函数.
评分规则: 【可知的取值分别是3,4,5. ，，. 写出X的3个取值得1分，3个概率的计算各3分.
四段的函数值有错各扣2分，有一个不等号写错的扣2分
】

2、问题:设是一个离散型随机变量，其分布律为（1）求常数；（2）计算概率；（3）设为X分布函数，计算.
评分规则: 【根据分布律的性质可知，，于是.注：写出概率之和为1得3分，计算出结果给6分

】

3、问题:设随机变量且，求和
评分规则: 【根据二项分布公式可知， (5分)(5分)令二者相等得到. （2分）
.
】

4、问题:商店每月进货一次，根据销售经验，某商品的月销售量X服从参数为4的泊松分布. 问在月初进货时，进多少货才能以99%的概率满足顾客的需要？
评分规则: 【可知，（这个公式可以不写）设进货量为m，要满足顾客需求，即要使得.(10分)查表可知，当时，满足题目的要求，因此进货量为9件. （10分）
】

5、问题:某汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某时间段内出事故的概率为0.0001，某天该时段内有1000量汽车通过，求事故次数不少于2的概率.注：对于二项分布当较大，较小时，近似有
评分规则: 【设X为1000辆汽车中发生事故的次数，可知（二项分布）.（5分）根据二项分布与泊松分布的关系，可知事故次数也近似服从参数为的泊松分布. （10分）于是查表可知.（5分）注：本题目也可以不用泊松分布，直接用二项分布求概率.
】