2021 实变函数(天水师范学院) 最新满分章节测试答案

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本课程起止时间为:2021-08-22到2022-01-20
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1. 集合论 第二章单元测验

1、 问题:有限集的基数是唯一的。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

2、 问题:若A是非空集合，则A和由A的一切子集所构成的集族对等。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

3、 问题:设0
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

4、 问题:设, 则
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

5、 问题:设A，B是两个集合，则一定成立。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

6、 问题:设A是一个不可数集合，B是A的有限子集或可数子集，则A\B~A.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

7、 问题:设a正确】

8、 问题:R上的增函数的不连续点最多只有可数多个.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

9、 问题:1. 集合序列的下极限为___.
答案: 【(0,1]】

10、 问题:1. R中一切开区间的全体记为G，则G的基数为___。
答案: 【(以下答案任选其一都对)c;
C;
阿列夫】

【作业】1. 集合论 第二章单元作业

1、 问题:设 求集列的上极限和下极限。
评分规则: 【 （1）先证对任意存在N，使得, 使得当n>N时，有0, ，即. 而显然,得证。（2）若有, 则存在N使得对任意n>N，. 当2n-1>N时，, 则当n趋于无穷时由,矛盾。
】

2、 问题:设A是一个集合，是两个集列，证明.
评分规则: 【 对任意，恒有, 所以.
】

3、 问题:证明R上的单调递增函数的不连续点的全体为可数集。
评分规则: 【 若为单增函数f(x)的不连续点，则，故对应一个开区间. 而两个不同的不连续点对应的开区间互不相交，而实数轴上的互不相交的开区间族所成的集合是可数集。
】

4、 问题:设证明存在, 使得.
评分规则: 【 令 则, 由此知存在不属于B，使得。 这是因为否则就有, 使得, 即,矛盾。证毕。
】

5、 问题:设f(x),g(x)是定义在E上的函数，证明
评分规则: 【 由于是单调递增集列，故
】

2. 点集 第二章单元测验

1、 问题:设, 若E’是可数集，则E是可数集。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

2、 问题:设 且 若, 则一定存在 使得.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

3、 问题:中的开球的闭包是.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

4、 问题:函数的不连续点集不是闭集。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

5、 问题:设A，B是R中的点集，则等式一定成立。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

6、 问题:若中的点都是孤立点，则E是闭集。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

7、 问题:实数集R不可以表示为可数个互不相交的闭区间的并。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

8、 问题:设, 则是中的闭集。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

9、 问题:点集的导集E’=__.
答案: 【(以下答案任选其一都对)1;
{1}】

10、 问题:设则E的闭包=______.
答案: 【[0,1]】

【作业】2. 点集 第二章单元作业

1、 问题:设,证明是包含E的一切闭集F的交，即.
评分规则: 【 （i）显然, 故, 因为是闭集，所以。（ii）由于是闭集，故, 结论得证。
】

2、 问题:证明集合是闭集当且仅当.
评分规则: 【 必要性：若 则对任一, 存在且,由此知 又因为F是闭集，所以.充分性：设 则存在且 易知. 因为否则 而, 故，矛盾。证毕。
】

3、 问题:设是两个开集，且 证明
评分规则: 【 反证法. 假设 即存在, 由于 故, 又是的内点，故存在, 使得, 可得不属于,出现矛盾。证毕
】

4、 问题:证明：若是孤立点集，则存在开集G，闭集F，使得.
评分规则: 【 令, 则F是闭集， 令, 则G是开集，又由题设知, 所以.
】

5、 问题:设是非空完备集，证明对任意的 存在, 使得x-y为无理数。
评分规则: 【 因为，所以对任意的是不可数集合，由此可知必存在，使得不属于有理数集。
】

3. 测度论 单元测验

1、 问题:可测集的测度是
选项：
A:其外包开集测度的下确界。
B:内填紧集测度的上确界。
C:一个非负广义实数。
D:是区间长度、面积、或者体积的推广。
答案: 【其外包开集测度的下确界。;
内填紧集测度的上确界。;
一个非负广义实数。】

2、 问题:可数点集的外测度为零。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

3、 问题:如果集合是可测集，则,是可测集。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

4、 问题:为中的零测度集，则一定为可测集。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】